Área entre dos curvas (Simplificado-GUÍA)

 Buen día a nuestros lectores; 

La entrada de hoy tendrá un enfoque principalmente a explicar como obtener un área entre curvas en cálculo integral. El área entre curvas es una de las aplicaciones de la integral y, aunque en muchos sitios de internet se enseña una teoría complicada y un tanto innecesaria, vamos a preparar una lista de pasos para obtener un área entre curvas.

El cálculo integral tiene como finalidad obtener el área debajo la curva. Como ya se ha revisado en lecciones anteriores, es posible calcular esta área mediante una integral definida. Esto brinda noción de la obtención de un área encerrada entre una gráfica de dos funciones. 

La fórmula para calcular el área entre curvas tomando en cuenta rectángulos con una base dx se define como;

Esta formula parece que está en chino, ¿No? La verdad es que algo muy sencillo, pero quizá tu profesor es un incompetente y te ha infundado un miedo al respecto, pero será muy sencillo de entender.

Lo anterior nos dice que si consideramos dos funciones continuas dentro de un intervalo [a,b] donde f(x) sea la función que esté encima de g(x) podemos calcular las unidades de área englobadas en dicha región mediante el uso de integrales. 

¿Qué rayos es esto de intervalo? 

Un intervalo no es más que un tramo en el que vamos a calcular el área. Sobre una línea recta, coloca un puntito, ese puntito es tu inicio, es decir, el punto "a" El punto final será el puntito "b" 

La longitud entre ambos puntitos será libre de definir, se adecúa a nuestras necesidades.

Cuando decimos que tomamos rectángulos con base dx hacemos referencia al sentido en el plazo cartesiano de coordenadas donde representamos las funciones. 

Si las funciones acotan un área horizontal, usaremos rectángulos con base dx. Si las funciones acotan un área vertical, usaremos rectángulos con base dy.

Veamos un ejemplo;

Nuestro intervalo "a" y "b" están definidos donde las funciones (las rayas) se intersecan (se cruzan) SIEMPRE para calcular un área entre curvas vamos a tener que definir el intervalo donde se cruzan y forman un área. Esta área está marcada en color gris.

Aquí viene lo que ya mencionamos, la gráfica está dada en dx porque el área que generan las curvas está mayormente horizontal. Si observas bien, la función f(x) está "encima" de g(x) la mayor parte del tiempo, al menos es así en la figura amorfa que generan estas dos funciones. 

SIEMPRE que se tengan dos funciones, la recomendación es graficar para identificar que función se colocará primero en la fórmula. 

Vamos a elaborar nuestro procedimiento para calcular áreas entre curvas de manera satisfactoria: 

1. Utiliza un software para graficar e identificar la función que está "encima" Esa función será la que colocarás primero en tu fórmula (Véase arriba) 
2. Ubica los puntos de intersección de las funciones (¿En dónde se cruzan? Deben quedarte en formato de coordenadas, SON MUY IMPORTANTES)
3. Identifica respecto a que eje se está graficando, si es horizontal será respecto a "x", si es vertical, será respecto a "y"
4. Si te dan una función estilo "4x-17-15+30=0" tendrás que despejar en términos de una sola variable (letra) 
5. Plantea tu integral definida respecto a las coordenadas que identificaste. Si la coordenada de intersección es (2,4) el punto que debes tomar en cuenta es el "2"
6. Define muy bien los límites de integración
7. Evalua cada función con sus propios límites, GUARDA EL RESULTADO
8. Una vez calculada la integral y evaluado el resultado, resta los resultados, respeta signos y no olvides que SIEMPRE el resultado de evaluar la función f(x) que va encima será el primero en colocar, no inviertas el orden o el resultado será negativo. 
9. Coloca tu resultado en término de unidades cuadradas. 

En post próximos vamos a desarrollar un ejemplo de este tema, sin embargo, esperamos que hayas podido darte una noción de como resolver este tipo de integrales.